初中学生如何练好数学思维(数学巧算：最小值竟然是15！)

数形结合求最小值问题

引言： 数学家华罗根老先生曾言：“看黑板树缺形时少直观，形，少数时难入微。树形结合万般好，隔离分家万事休。” 这句话启发我们解决难题的着手点。当面对一个式子看不出头绪时，尝试通过图形来理解可能会有奇效。本文将通过一个问题来演示数形结合的思维方法。

问题： 若$a + B = 12$，求 $\sqrt{a^2 + 4} + \sqrt{49 + B^2}$ 的最小值。

分析： 首先，我们注意到 $\sqrt{a^2 + 4}$ 中的4不能直接表示为2的平方，但它看起来像勾股定理中的一部分。为了更好地理解，让我们构造一个直角三角形。假设$a + B = 12$，其中一条边是线段AB，其长度为12。其中，一小段是$a$，另一小段是$B$。

构造直角三角形： 我们想构造一个直角三角形，另一条边的长度可以表示为$\sqrt{a^2 + 2^2}$。所以，我们可以将其设为2，然后将这两条边连接起来，这条线段的长度就是$\sqrt{a^2 + 2^2}$。

接下来，我们考虑另一部分 $\sqrt{49 + B^2}$，为了构造它，我们需要一条长度为7的直角边。我们将其放在另一边，这样老师给出的线段的长度就是$\sqrt{49 + B^2}$。

最小值求解： 现在我们的目标是使$\sqrt{a^2 + 2^2}$ 和 $\sqrt{49 + B^2}$ 的和最小。我们发现，只有当它们在一条直线上时，和才最小。这时，我们只需要连接MN这条线段。

这个道理可以用三角形中第三边小于两边之和来解释，或者说两点之间的最短距离是直线。因此，最小值就是线段MN的长度。

最终计算： 现在，我们可以进行计算。将AB挪下来，长度为12。将AM挪过来，长度为2。那么，直角边是9，12，MN就是15。

结论： 最终结果为15。通过数形结合的方法，我们轻松求得了问题的最小值。希望这个例子能帮助你理解并掌握这一思维方法，数学学习愉快！