函数的定义和含义

在高中数学中，当我们学习函数的时候，很多同学都感到头疼。函数的表示方法与初中的不同，而且函数有很多不同的变形，括号中还可以包含各种奇怪的表达式，导致学习起来无从下手。

实际上，只要深刻理解了函数的含义，我们会发现函数这一章节其实很容易学习。不管是后面的单调性、奇偶性、对称性、周期性，都是围绕着函数的定义展开的。

首先，我们来清楚函数（简称FX）在高中数学中的定义。本来我想举个比较形象的例子，比如把原材料丢入大工位加工后得到函数值，但是想想大家都快成年人了，我们还是成熟一些吧。直接来解释定义：

假设我给你一个变量X，然后通过一个变量法则F，我们可以得到一个函数。我们把这个函数称之为FX。很简单吧，就像填空一样。你把自变量填入对应关系中，就得到了函数。对应关系可以有很多变化，比如F括号等于括号的平方加一，这就是一个对应关系。那么通过这个对应关系得到的函数，等于多少呢？很简单，把括号中填入X即可。就像填空一样，我们得到FX等于X的平方加一，这么容易。

基于此，不管这个函数有多复杂，我们都可以根据这个式子来求解。比如，如果给定的变量不再是X，而是X加二，通过这个对应关系得到的函数是多少呢？根据对应关系，F等于X加二，那么函数值是多少呢？还是填空，你把X加二代入括号中即可。函数值就等于(X加二)的平方再加一。后面的化简就不写了，谁都会。

除了填入变量，我们还可以填入常数，比如填入数字三。通过这个对应关系得到的是什么呢？还是一样，我们代入括号中的值，原来它代表的就是在X等于三的时候函数值的大小。那么我们是否得到了F3呢？它等于三的平方加一等于十。所以，带入常数得到的是函数值的大小，带入变量得到的是一个函数。

如果我们进一步发挥想象力，能不能带入一个函数到这个对应关系中呢？当然可以。我们带入后得到的是FX，它等于FX的平方加一。这个就叫做复合函数。我们不妨算一下这个FFX，它等于多少呢？同样的算法，你把它套进对应关系中，就会发现其实很简单嘛。如果你能填空，那么它就等于函数的平方再加一。而函数的表达式我们刚刚已经写过了，它等于X的平方加一。所以将这个FX带入，可以得到函数的平方加一的平方再加一。这就是复合函数的表达式，也很容易理解。

好了，我们讨论了带入的值可以随意变化，那么对应关系可以变吗？当然可以。不同的对应关系对应着不同的函数名。上面的对应关系是平方加一，那么我们可以想象一下，通过根号下括号来定义F，而A括号可以对应sin括号的关系，等等。这个可变性就是非常大的，你想求什么值，就将它带入即可。比如我们想求GX加二，那它等于多少呢？我们把括号中填入X加二即可。所以，GX加二等于根号下X加二，非常简单，这就是函数的定义。

接下来，我们来讲一些函数的必备概念。首先是定义域。定义域指的是自变量的取值范围，这一点容易混淆。比如，我们来看看这个函数，我问你谁是自变量？你肯定知道是X。由X的变化引起了函数的变化。所以，X为自变量。那关于F.X加二，有人可能说自变量是X加二，但是错了。注意，此时的自变量仍然是X，因为你想一想，我们最终还是因为X的变化引起了函数的改变。这个二只是一个定值，它并没有改变函数的本质。所以，如果题目问你FX加二的定义域是多少，你要记住，我们求的是F的取值范围。同理，如果题目问你复合函数的定义域是多少，你还是一样，这个复合函数的自变量仍然是这个单变量的X，所以我们只需要求出X的取值范围即可。

说起来很简单，但是很容易求解这个定义域出错。下面我们将进入本文的第一个重点，也是高一必考的内容。