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衡中高考数学怎么学(「高中数学生解密椭圆离心率，惊人结果！」)

瞿雯雪

精选回答

利用正余弦定理求取椭圆的离心率

题目描述

已知三角形ABC，其中∠B = -7/18，且AB = BC * cos(∠B)。在AB上取一点C使得椭圆过该点，并求取该椭圆的离心率。

衡中高考数学怎么学(「高中数学生解密椭圆离心率，惊人结果！」)

解题思路

由于题目给出的不是特殊角，而是长度和一个角的余弦，我们可以直接利用余弦定理求取椭圆的离心率。

首先，根据题目条件，可知AB等于2C，即AB = BC = 2C；同时，根据椭圆的定义，AC + BC = 2a，所以AC = 2a - 2C。

已知三个边和一个角的余弦，我们可以使用余弦定理来求取。根据余弦定理，cos(∠B) = (2C)^2 + (2C)^2 - (2a - 2C)^2) / (2 * 2C * 2C) = -7/18。

展开并整理这个式子，最终得到的交叉相乘之后的式子为： 16C^2 - 9a^2 + 18AC = 0。

这个式子是一个二次方程，我们可以解出离心率e。将式子除以a^2后，变成： 16e^2 - 9 + 18e = 0。

解这个一元二次方程，可以求解出离心率e = 3/8。

小结

通过利用正余弦定理和余弦定理，我们成功求解了椭圆的离心率。这个方法能够帮助我们处理给出长度和一个角的情况下，求取椭圆的相关参数。

高中数学不白吃 2023-07-28 09:41:41

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