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初中怎么满分数学(考试经典难题揭秘：费马点解锁最小值，妙不可言！)

索逸康

精选回答

题目背景

这道题目被认为是经典中的经典，历经十多年仍然备受重视。其独特之处在于条件给定似乎与问题本身无关，且涉及双重点问题，使得解题更加复杂。题干描述了一个矩形，点P位于其内部，点Q在BC边上两个动点，矩形宽为500，长为1000。问题要求求解PAD、PQ两线段和的最小值。

初中怎么满分数学(考试经典难题揭秘：费马点解锁最小值，妙不可言！)

解题思路

1. 费马点的引入

问题要求PAPD和PQ3的和的最小值，引出费马点的概念。如果能够想到费马点，问题将变得更有趣。费马点问题通常涉及从一个点向三个点发射线段，并求最小值。在这里，我们考虑将APD向外旋转60度。

2. 旋转构造等边三角形

旋转60度后，AP旋转到AP，AD旋转到ADE。这个旋转的关键在于构造等边三角形，其中AD、DE和APPE都是等边三角形。这个等边三角形的性质在后续推导中发挥了关键作用。

3. 构造等边三角形的应用

利用等边三角形的性质，观察到P1D1与PD相等，PPE与AP相等。这样，问题的求解就被转化为了求解PAD、PQ3的等边三角形和的最小值。

4. 共线最短条件

考虑Q在BC上运动，而在共线的情况下，最短距离是共线并垂直的情况。这一发现使得问题更加妙趣横生。

结论

通过以上推导，可以得出所有最小值的情况是Q在共线并垂直的情况下，此时的最小值为500倍根号三再加上500。这一结论是对问题的全面解答，展现了问题的深度和巧妙之处。

数学老师董小磊 2023-11-17 10:26:39

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